Основные понятия и теоремы о сходимости
Числовой ряд — это выражение вида
где члены ряда действительные или комплексные числа, общий член ряда.
Ряд задан, если известен общий член ряда un, выраженный как функция его номера n:
n-я частичная сумма ряда — это сумма первых n членов ряда
Рассмотрим следующие суммы:
Ряд сходится, если существует конечный предел
последовательности частичных сумм ряда.
Предел называется суммой ряда
Ряд расходится, если не существует или равен бесконечности.
Примеры
Покажем, что сумма данного ряда равна единице. Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:
Вычислим коэффициенты А и В:
Составим n-ю частичную сумму ряда:
Вычислим предел последовательности частичных сумм:
Свойства рядов
Свойство 1. Если ряд
сходится и его сумма равна S, то ряд
где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.2) расходится и , то и ряд (1.3) расходится.
Доказательство
Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд (1.3) сходится и имеет сумму cS.
2. Покажем, что если ряд (1.2) расходится, , то и ряд (1.3) расходится. Допустим противное: ряд (1.3) сходится и имеет сумму
Тогда
откуда
т. е. ряд (1.2) сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.2) и сходится ряд
а их суммы соответственно равны то сходятся и ряды
причем сумма каждого равна S1 ± S2.
Доказательство
Пусть n-е частичные суммы рядов (1.2), (1.4), (1.5) соответственно. Тогда
т. е. каждый из рядов (1.5) сходится и сумма его равна S1 ± S2.
Следствие Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Замечание Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.2) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.2) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство Пусть S — сумма отброшенных членов ряда, k — наибольший из этих номеров.
Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули. Тогда при n > k будет выполняться равенство где n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1.2) пу- тем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому
Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов. Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
Ряд вида
называется n-м остатком ряда (1.2), который получается из ряда (1.2) отбрасыванием его n первых членов.
Согласно свойству 3: 1) ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся; 2) если ряд (1.2) сходится, то его остаток при стремится к нулю, то есть