Понятие переменой величины (функции) является одним из центральных понятий математического анализа. Оно является для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, таким же фундаментальным, как понятие числа для арифметики. Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития.
Впервые понятие функции было введено в знаменитом труде математика и философа Рене Декарта «Геометрия» (1637 г.) под названием «переменная величина». В геометрическом и механическом понимании это понятие интерпретируется у Исаака Ньютона (1671 г.). Под функцией он понимал переменную величину, которая изменяется с течением времени. Эту величину Ньютон называл «флюентой». Термин «функция» (от латинского functio – исполнение) впервые ввел в 1673 году немецкий математик Готфрид Лейбниц в письме к Гюйгенсу. У Лейбница функция связывалась с геометрическим образом (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону). В работах Декарта, Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и не было связано ни с геометрическими, ни с механическими представлениями. В XVIII веке функцию стали рассматривать как формулу, связывающую одну переменную с другой.
Швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году определил функцию следующим образом: «Функцией переменной величины называют количество, образованное какие угодно способом из этой переменной величины и постоянных». В 1755 году в «Дифференциальном исчислении» Лео нард Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».
Множества. Операции над множествами. Числовые множества
Множество – одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется. Объекты, составляющие множество, называют его элементами. Множества обозначают заглавными
латинскими буквами: A, B, C, X, …, их элементы – прописными буквами: a, b, c, x, … или буквами с индексами
a1, a2, a3, … Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают 
Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество 12
содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его элементы. Если множество задано списком, то
его элементы записывают в фигурных скобках через точку запятой. Множество цифр можно записать следующим образом:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0};
множество натуральных
чисел, меньших 30 и кратных 5, – B = {5; 10; 15; 20; 25};
множество дней недели – С = {понедельник; вторник; среда;
четверг; пятница; суббота; воскресенье}.
Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств. Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству. Задание множества с помощью характеристического свойства записывают следующим образом: 
где 
– характеристическое свойство.
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств 
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств 
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B:
Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных
пар (a, b), где 
Обозначают декартово произведение множеств 
Заметим, что в определении декартова произведения множеств речь идет об упорядоченных парах, то есть 
Понятие функции
Пусть даны два множества X и Y и пусть указано правило, по которому каждому элементу х множества Х поставлено в соответствие единственное значение у из множества Y. Это соответствие называется функцией (отображением) и обозначается 
или 
Переменная х называется независимой или аргументом, переменная у – зависимой или функцией. Множество Х называется областью определения функции и обозначается D(f ). Множество всех значений, которые принимает переменная у (это подмножество множества Y), называется областью изменения (областью значений) функции и обозначается E(f ).
Функция считается заданной, если:
а) задана область определения функции X;
б) задана область значений функции Y;
в) известно правило (закон) соответствия, причем каждому значению аргумента xX поставлено в соответствие
единственное значение функции 
.
Часто при задании функции задают только правило соответствия, не описывая при этом множества X и Y. В таких случаях подразумевается, что область определения X известна из физического или математического смысла рассматриваемого соответствия, а множество Y считают совпадающих с областью значений функций. В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается x, а на выходе получается y. 
