Определители

Определение. Определитель — это число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A по определенному правилу.
Итак, задана матрица

Обозначение определителя:

Определители второго порядка

Определитель второго порядка вычисляется по правилу:

Вначале перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали — затем на побочной диагонали —   . И, наконец, из первого слагаемого вычитается второе.

Пример 1:

 

Пример 2: Найти значения параметра a, при которых заданный определитель равен −2.

Вычислим определитель:

По условию

Следовательно,

При a = 2 и a = 3 определитель равен −2.

Определители третьего порядка

Выпишем определитель третьего порядка:

Вычислим его по правилу треугольника.

Правило треугольника вначале запишем схематично:

Здесь — произведение элементов, стоящих на главной диагонали, — произведение трех элементов, два из которых находятся над главной диагональю, а третий в нижнем левом углу, — произведение трех элементов, два из которых находятся под главной диагональю, а третий в верхнем правом углу. Остальные произведения входят в формулу со знаком минус и связаны с побочной диагональю.

Теперь запишем правило треугольника:

Пример 3:

Вычисление определителей разложением по строке (столбцу)

Определение. Определитель Δ равен сумме произведений элементов i-й строки на их алгебраические дополнения:

или определитель Δ равен сумме произведений элементов j‑го столбца на их алгебраические дополнения:

Запишем вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке.

Запишем вычисление определителя третьего порядка разложением по второму столбцу.

Пример:

Вычислим этот определитель разложением по первому столбцу.