Логарифмы как решать

В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем свойства и графики показательной и логарифмической функции.
Равенство можно записать и по-другому:

Читается так: «логарифм по основанию два восьми равен трём».

Определение логарифма

Везде далее мы полагаем по умолчанию, что числа a и b положительны и, кроме того,
Причины таких ограничений станут ясны впоследствии.
Дадим определение логарифма. Запись loga b = c (читается: «логарифм по основанию a
числа b равен c») означает: чтобы получить число b, нужно число a возвести в степень с.
Таким образом,

Иными словами, b — это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
Примеры вычисления логарифмов:

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом. Вместо записи используется обозначение . Примеры вычисления десятичного логарифма:

С «хорошими» степенями всё понятно. А можно ли возвести 2 в такую степень, чтобы получить 5? Оказывается, да. Число log2 5 существует, его можно вычислить на калькуляторе: Как видите, расположен между двойкой и тройкой (ближе к двойке), что достаточно очевидно: ведь (а 5 ближе к 4, чем к 8).

Вообще, каковы бы ни были числа a и b (такие, что a > 0, a 6= 1 и b > 0), найдётся един- степенное число c такое, что ac = b; иными словами, значение логарифма loga b существует
и единственно. Этот факт вы можете принять как данность — его доказательство выходит за рамки школьной программы.
Таким образом, мы можем оперировать с логарифмами от любого положительного числа по любому положительному основанию (не равному единице). Например,
все эти числа существуют и могут использоваться при различных вычислениях.

Основное логарифмическое тождество

Пусть Подставим это выражение для c в первое равенство:

Мы получили так называемое основное логарифмическое тождество. Важно понимать, однако, что формула (1) есть просто определение логарифма; она говорит о том, что loga b — это степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Таким образом, имеем, например:

Логарифмические формулы

Сейчас мы выведем некоторые формулы, которые применяются для преобразования выражений с логарифмами. Все эти формулы нужно твёрдо знать.

Здесь доказывать нечего — это просто переформулировка определения логарифма. Действительно, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить ax? Ясно, что в степень x.