Метод Гаусса. Элементарные преобразования

Определение же рангов основной и расширенной матриц независимо от поиска решений оказывается весьма нерациональной (с точки зрения расходования вычислительных ресурсов) процедурой. Более эффективным вычислительным алгоритмом, позволяющим либо находить общее решение системы, либо устанавливать факт ее несовместности, является метод Гаусса. Суть этого метода заключается в приведении расширенной матрицы системы линейных уравнений к наиболее простому виду последовательностью так называемых элементарных преобразований, каждое из которых не меняет общего решения системы уравнений. На нашем сервисе можно вычислить

методом Гаусса

Под “наиболее простым” видом расширенной матрицы мы будем понимать верхнюю треугольную форму (т.е. случай, когда при i > j ), для которой возможно рекуррентное нахождение неизвестных путем лишь решения на каждом шаге процедуры линейного уравнения с одним неизвестным. Ниже приведен пример матрицы размера m*n (n > m) , имеющей верхнюю треугольную форму

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
— перестановка строк (перенумерация уравнений);
— перестановка столбцов основной матрицы (перенумерация неизвестных);

— удаление нулевой строки (исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значениями
неизвестных);
— умножение строки на ненулевое число (нормирование
уравнений);
— сложение строки с линейной комбинацией остальных строк с записью результата на место исходной строки
(замена одного из уравнений системы следствием ее уравнений, получаемым при помощи линейных опера-
ций).
Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ранг ее матрицы) не изменится также и при использовании любой комбинации элементарных операций. Непосредственной проверкой можно убедиться, что элементарные преобразования любой матрицы могут быть выполнены при помощи умножения ее на матрицы следующего специального вида.

Например:

— перестановка столбцов с номерами i и j матрицы размера m*n осуществляется путем ее умножения справа на матрицу размера n*n , которая в свою очередь получается из единичной матрицы n — го порядка путем перестановки в последней i -го и j -го столбцов;

— умножение i -й строки матрицы на некоторое число осуществляется путем умножения слева на матрицу которая получается из единичной размера m*m матрицы путем замены в последней i -го диагонального элемента (равного единице) на  

— сложение строк с номерами i и j матрицы осуществляется путем ее умножения слева на матрицу размера m*n , которая получается из единичной матрицы порядка m путем замены в последней нулевого элемента, стоящего в i -й строке и j -м столбце, на единицу (при этом результат суммирования окажется на месте i -й строки исходной матрицы ).

Отмеченные свойства элементарных преобразований позволяют в ряде случаев упрощать вычислительные процедуры с матричными выражениями. Пусть, например, есть матрица преобразования, переводящего невырожденную матрицу в единичную. Тогда преобразование с матрицей переведет единичную матрицу в матрицу поскольку в силу невырожденности справедливы равенства

Из этих соотношений следует, что вычисление произведения квадратных матриц может быть сведено к последовательности элементарных преобразований матрицы (то есть матрицы, образованной добавлением столбцов матрицы к матрице ), приводящих подматрицу к единичной. В результате искомое
произведение оказывается на месте подматрицы .

Проиллюстрируем применение метода Гаусса на примере решения следующей системы линейных уравнений.

Решение:

Приводим ее к верхнему треугольному виду. Для этого
а) преобразуем в нули все элементы первого столбца, кроме элемента, стоящего в первой строке. Например, для зануления элемента, стоящего во второй строке первого столбца, заменим вторую строку матрицы строкой, которая является суммой первой строки, умноженной на ( — 3 ), второй строки. Аналогично поступаем с четвертой строкой: ее заменяем линейной комбинацией первой и четвертой строк с коэффициентами ( — 5 ) и 1 соответственно. Третью, естественно, не меняем: там уже имеется необходимый для треугольного вида ноль. В итоге матрица приобретает вид

б) выполняем теперь операцию зануления элементов второго столбца, стоящих в его третьей и четвертой строках. Для этого третью строку матрицы заменяем суммой второй и третьей, а четвертую – разностью второй и четвертой. Получаем

в) поскольку в данном конкретном случае элемент, расположенный в четвертой строке третьего столбца, оказался равным нулю, то приведение расширенной матрицы к верхнему треугольному виду завершено.