Основные понятия и свойства
Как известно, основной задачей дифференциального исчисления является нахождение для заданной функции F(x) ее производной F'(x) = f (x) или ее дифференциала dF(x) = F'(x)dx = f (x)dx. Обратная задача, состоящая в нахождении функции F(x) по известной производной f (x) или дифференциалу f (x)dx , представляет собой основную задачу
интегрального исчисления. Операции дифференцирования и интегрирования взаимообратны.
Определение: Первообразной функции f (x) на [a,b] называется функция F(x) ,
производная которой равна f (x) для ∀x∈[a,b] , т.е.
F'(x) = f (x) или dF(x) = f (x)dx
постоянную величину.
Определение: Множество всех первообразных функций f (x) называется неопределенным
интегралом.
∫ f (x)dx = F(x) +C
где ∫ — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x)dx — подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная. Равенство ∫ f (x)dx = F(x) +C дает общий вид первообразной функции. На вопрос о том, имеет ли данная функция f (x) первообразную, дает ответ основная теорема интегрального исчисления.
Теорема: Непрерывная на отрезке [a,b] функция f (x) интегрируема в ∀x∈[a,b] .
Определение: Процесс нахождения первообразной функции для заданной непрерывной функции f (x) называется интегрированием.
Свойства неопределенного интеграла
Таблица основных интегралов элементарных функций
