Квадратным называется уравнение вида 
где 
– некоторые заданные действительные числа, причём
принимается за неизвестное.
Числа a, b, c называют так:
a – старшим или первым коэффициентом,
b – вторым,
c – свободным или третьим.
«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:
Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач. Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.
Тогда квадратными будут уравнения:
(относительно x, m ≠ 0),
(относительно a, x ≠ 0).
Уравнение 
можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.
Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях. Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением. (Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги.) Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых. Возникает первый вопрос: обязательно трёх? Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим. Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида
Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых! Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так
Так как количество слагаемых левой части уравнений 
визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение 
в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным. Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.
Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a ≠ 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида (или в общем виде 
) называть квадратным? Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид bx + c = 0.
Но это же линейное уравнение!
Оно имеет свою теорию, свои изюминки. Пусть будут «мухи отдельно, котлеты отдельно».
Теперь понятно, что требование a ≠ 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени – квадрата – неизвестного. Вот этот признак будет определяющим! В дальнейшем, говоря о квадратном уравнении, мы будем помнить, что старший коэффициент не равен нулю, не оговаривая это каждый раз. Договорились?
Тогда уравнение 
правильно называть уравнением с параметром второй степени, которое при определённых условиях может быть квадратным, а может им и не быть (стать линейным). Однако не будем торопиться. Наличие второй степени неизвестного – необходимый, но не достаточный признак квадратного уравнения. Рассмотрим следующие уравнения:
Выполним сравнительный анализ этих уравнений с квадратным 
по трём признакам: – наличие второй степени неизвестной, – наибольшая степень неизвестной, – количество неизвестных. Зафиксируем для каждого уравнения эти параметры. Результаты сравнительного анализа организуем в таблицу.
Итак, что мы имеем? Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна. Именно это и важно! Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому – алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным. Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:
алгебраическое уравнение → первой степени,
второй степени и так далее;
алгебраическое уравнение → с одной неизвестной,
с двумя неизвестными и так далее.
Приведём примеры:
– уравнение первой степени с одной неизвестной;
– уравнение первой степени с двумя неизвестными;
– уравнение второй степени с одной неизвестной;
– уравнение второй степени с двумя неизвестными.
Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!
