Определенный интеграл

Основные свойства и определения

Пусть функцияопределена на отрезке  [ b, a] . Разобьем его произвольно на n частей
точками так что . В каждом частичном отрезке произвольным образом выбрана точка

Определение: Сумма вида:

где называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a,b].

Определение: Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a,b] называется
предел интегральных сумм  Sn при условии, что длина наибольшего частичного отрезка  Δxi
стремится к нулю:

где λ= max{Δxi}— шаг разбиения.

Если предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора
точек ξ , то непрерывная функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] .

Теорема (о существовании определенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на
отрезке [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. для нее существует предел
интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части,
ни от выбора точек ξ.

Свойства определенного интеграла

если  f(x) ≥ 0 на отрезке ] , [ b a , то

если f (x) ≤ 0 для всех точек x∈[a,b] , то

если f (x) ≤ g(x) на отрезке [a,b] , то

если М – наибольшее, m – наименьшее значение f (x) на [a,b] , то

(обобщенная теорема об оценке определенного интеграла)