Основные свойства и определения
Пусть функция
определена на отрезке [ b, a] . Разобьем его произвольно на n частей
точками 
так что 
. В каждом частичном отрезке 
произвольным образом выбрана точка 
Определение: Сумма вида:
где 
называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a,b].
Определение: Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a,b] называется
предел интегральных сумм Sn при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δxi
стремится к нулю:
где λ= max{Δxi}— шаг разбиения.
Если предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора
точек ξ , то непрерывная функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] .
Теорема (о существовании определенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на
отрезке [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. для нее существует предел
интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части,
ни от выбора точек ξ.
Свойства определенного интеграла
если f(x) ≥ 0 на отрезке ] , [ b a , то
если f (x) ≤ 0 для всех точек x∈[a,b] , то
если f (x) ≤ g(x) на отрезке [a,b] , то
если М – наибольшее, m – наименьшее значение f (x) на [a,b] , то
(обобщенная теорема об оценке определенного интеграла)
