Элементы векторной алгебры

С векторами вы встречались в курсе школьной физики, рассматривали вектор силы, вектор скорости. Определение. Вектор — это направленный отрезок. Обозначается вектор либо одной малой буквой латинского алфавита со стрелкой или чертой сверху — либо двумя большими буквами первая из которых соответствует началу вектора, вторая — концу.
Определение. Длина вектора — это длина направленного отрезка. Она обозначается

Определение. Векторы и называются равными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Таким образом, появляется понятие «свободный вектор».

Операции над векторами

1. Сложение векторов.

Определение 1. Суммой векторов называется вектор направленный по диагонали параллелограмма, построенного на векторах выходящих из одной точки А, у которого начало совпадает с точкой А (рис. 1).

Определение 2. Пусть начало вектора совпадает с концом вектора Суммой векторов называется вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец совпадает с концом вектора (рис. 2).

2. Вычитание векторов.

Разностью векторов называется вектор , направленный по другой диагонали параллелограмма, построенного на векторах выходящих из одной точки, начало которого совпадает с концом вектора , а конец совпадает с концом вектора (рис. 3).

3. Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора на число λ называется вектор который расположен на прямой, совпадающей с вектором либо параллельной вектору длина которого равна и направление совпадает с направлением вектора если λ > 0, и противоположно направлению вектора если λ < 0 (рис. 4).

Векторы в прямоугольной системе координат

На оси Оx построим единичный вектор с началом в точке О, направление которого совпадает с направлением оси. Он называется ортом и обозначается Аналогично на оси Оy построим отр Если рассматривают не плоскость, а пространство, на оси Оz строят орт

Вектор расположим так, чтобы его начало совпадало с точкой О. Конец вектора обозначим M. Координаты точки M (x, y) называют координатами вектора пишут Очевидно, x называется проекцией вектора на ось Оx, y называется проекцией вектора на ось Оy. Через α обозначим угол
между вектором и осью Оx, через β обозначим угол между вектором и осью Оy (рис. 5); называются направляющими косинусами вектора .