Матричные объекты

Аналитическое описание геометрических фигур и тел, равно как и операций с ними, может быть в большом числе случаев упрощено за счет использования специального математического объекта, называемого матрицей.

Определение:

Матрицей размера m*n называется упорядоченная прямоугольная таблица (или массив) чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, входящие в описание матрицы, называемые ее элементами (или компонентами), характеризуются как своим значением, так и номерами строк и столбцов, в которых они расположены. Условимся обозначать элемент матрицы, расположенный в i -й строке и j -м столбце, как a_ij.

Определение:

Числа m , n и m*n называются размерами матрицы.

Матрицы обозначаются и записываются перечислением их элементов. Например, матрица с элементами

или же в развернутой форме:

из которых будем использовать последнюю. Если же потребуется не-развернутое представление матрицы, то мы запишем ее в виде

Матрицы принято классифицировать по количеству их строк и столбцов.

Определение:

Если m = n , то матрица называется квадратной, порядка n. Матрица размера m*1 называется m -мерным (или m -компонентным) столбцом. Матрица размера 1*n называется n -мерной (или n -компонентной) строкой.

Отметим, что, хотя формально для обозначения строк или столбцов следует использовать двухиндексные записи неменяющиеся индексы принято опускать, в результате чего обозначения строк или столбцов имеют вид

В этих случаях, разумеется, необходимо явно указывать, о чем идет речь: о строке или о столбце. Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениями элементов имеют специальные названия и обозначения.

Определение:

Квадратная матрица, для которой называется симметрической.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу обозначают как

Квадратная матрица порядка n вида

называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать

Операции с матрицами

Определение:

Отметим, что умножать на число можно матрицу любого размера.

Замечание: в качестве всех (или некоторых) элементов матрицы
возможно использование не только чисел, но и других математических объектов, для которых подходящим образом определены операции сравнения,сложения и умножения на число, например, векторов, функций или тех же матриц.

Определение: Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой образуется новая матрица, где
строками служат столбцы исходной, записанные с сохранением порядка их следования.

Матрица, получающаяся в результате транспонирования матрицы