Skip to content

Вычисления онлайн

Помощь в решении интегралов

  • Уравнения онлайн
  • Вычислить интеграл

Дифференциальные уравнения

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Законы Ньютона позволяют строить математическую модель механического движения, которая обычно представляет собой дифференциальное уравнение. Рассмотрим, например, подробнее такую задачу. С некоторой высоты сброшено тело массой m. Требуется установить закон изменения скорости падения тела v(t), если на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности k). По II закону Ньютона где – ускорение движущегося тела, – сумма сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Таким образом, имеем уравнение, связывающее искомую функцию v(t) и ее производную

т. е. дифференциальное уравнение. В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Ее разработкой занимались крупнейшие ученые XVIII века, такие как Ж. Даламбер, Ж. Л. Лагранж, А. Клеро и др. Наибольшую роль в развитии этой теории сыграли труды Л. Эйлера. В первых двух томах его «Интегрального исчисления» содержится немало классических примеров интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе и решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Отметим, что изучение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на младших курсах обычно остается на уровне открытий XVIII века, и заключается в освоении приемов интегрирования лишь хорошо изученных типов уравнений и некоторых экзотических случаев, ибо «точно» интегрируемые уравнения – это исключительная редкость во множестве возможных уравнений. Переходя к реальным объектам исследования, студенты, инженеры и аспиранты сталкиваются с более сложными моделями и их математической реализацией. Даже в кругах исследователей – «чистых математиков» довольно долго интегрирование уравнений в квадратурах, теоретико-групповой подход к уравнениям считались тупиковой ветвью в науке. Тем не менее, теория обыкновенных дифференциальных уравнений является базой для уравнений математической физики и, кроме того, развитие современной физики показало, что именно те самые редкие и хорошо изученные случаи и представляют наибольший физический интерес. А успехи, достигнутые в ряде разделов математики – в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и коммутативной алгебре, позволяют надеяться на то, что общая теория уравнений с частными производными будет построена.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В математике и физике часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить уравнение, содержащее не только неизвестную функцию и ее аргумент, но и производную неизвестной функции.

Уравнение вида

связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные ) , называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например, уравнения

будут дифференциальными уравнениями первого порядка; уравнения

будут дифференциальными уравнениями второго порядка; уравнение

имеет третий порядок.

Функция  называется решением дифференциального уравнения на интервале (a,b) если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех  x из интервала (a, b) Например, функция является решением дифференциального уравнения ; функция будет решением уравнения в интервале (-1;1) . Чтобы это проверить, достаточно подставить функцию в соответствующее уравнение.

Уравнение задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Так же если вы затрудняетесь в решении дифференциального уравнения, всегда можно воспользоваться

онлайн калькулятором

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Это название не случайно, так как нахождение решений обычно связано с процессом интегрирования. Поскольку процесс интегрирования функции приводит к появлению множества функций, то и решений любое дифференциальное уравнение тоже будет иметь множество. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения в заданной области (в явной или неявной форме). Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций. Таких уравнений сравнительно немного. В нашем курсе мы рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.

В математике рассматриваются также уравнения, которые связывают искомую функцию нескольких переменных, ее аргументы и частные производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Их интегрирование представляет собой значительно более сложную задачу, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Позднее мы познакомимся с одним типом дифференциальных уравнений в частных производных.

 

Posted in База знаний

Навигация по записям

Определение квадратного уравнения
Векторы и линейные операции с ними

Related Post

  • Дифференциальные уравнения Числовые ряды
  • Дифференциальные уравнения Логарифмы свойства определения
  • Дифференциальные уравнения Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Дифференциальные уравнения Элементы линейной алгебры
  • Дифференциальные уравнения Элементарные функции
  • Дифференциальные уравнения Расстояние между двумя точками

Рубрики

  • Аналитическая геометрия
  • База знаний
  • Решение интегралов
  • Решение матриц
  • Решение уравнений онлайн
  • Решения векторов

Свежие записи

  • Числовые ряды
  • Логарифмы свойства определения
  • Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Элементы линейной алгебры
  • Элементарные функции
Вычисления онлайн
Top.Mail.Ru