Теория кратных интегралов представляет собой раздел математики, в котором методы интегрального исчисления обобщаются на вычисление интегралов по областям, расположенным на плоскости или в пространстве. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля, числовые и функциональные ряды нашли широкое применение в различных разделах математики, включая теорию вероятностей, дифференциальные уравнения в частных производных, оптимальное управление, в теоретической физике и механике, механике сплошных сред, и многих других теоретических и прикладных науках. На нашем сервисе можно вычислить двойной интеграл.
Формулы для вычисления двойного интеграла
Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область S с кусочно-гладкой границей L, и пусть на области S определена функция f ( x , y ). Тогда двойной интеграл
физически будет представлять собой массу области S плотностью p = f ( x , y ), отсеченную боковой поверхностью цилиндра с основанием на плоскости Oxy и с образующими, параллельными оси Oz, исходящими из точек границы L. Геометрически такой интеграл представляет собой объем цилиндра, который ограничен снизу плоскостью Oxy, сверху поверхностью z = f ( x , y ) , сбоку образующими, параллельными оси Oz, исходящими из точек границы L. Для того чтобы вычислять двойные интегралы, их необходимо преобразовать в повторный:
если S – правильная (простая) область, т.е. область S – область, ограниченная кривыми 
или ограниченная кривыми 
Если область S не правильная, то такую область разбивают на простые области так, чтобы у них не было общих внутренних точек, а интеграл будет представлять собой сумму интегралов по этим простым областям:
Изменение порядка интегрирования:
или наоборот. Если у вас возникли сложности с решением двойных интегралов, мы поможем с вычислением, на нашем сайте находится онлайн калькулятор.
Примеры вычисления двойных интегралов
Вычислить:
Построить область интегрирования, поменять порядок интегрирования:
Построить область интегрирования, поменять порядок интегрирования:
Записать двойной интеграл в виде повторного, поменять пределы интегрирования: Область G – параллелограмм, ограниченный кривыми 
Преобразовать двойной интеграл в повторный, поменять порядок интегрирования: Область G ограниченна кривыми 
На нашем портале вы так же можете ознакомиться с другими видами интегралов, и пробовать с помощью наших калькуляторов делать вычисления: ОПРЕДЕЛЕННЫХ ; ДВОЙНЫХ ; НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ интегралов.
